Delay and Sum

Delay and Sum (DAS)

지연을 미리 정해놓고 시간 지연을 사용하여 원하는 수신 방향에서 신호를 증대시키고 원하지 않는 방향의 신호는 약화시킬 수 있다는 개념 (지연이 클수록 수신 각도가 커짐)

또, 의료용 초음파 신호는 좁은 대역을 사용해 주파수 의존적 위상 보정이 거의 필요하지 않음

최근 연구들은 DAS가 제공하는 공간 해상도를 개선하기 위해 DAS를 조정하는 적응형 빔포머에 초점을 맞추고 있음

DAS의 장점: 

1. 파동 전파의 기본 개념(선형성, 직선 전파, 약한 후방 산란)에 기초

2. 구현이 간단하며 병렬 처리가 가능

3. 수치적으로 안정성이 있고 (알고리즘이 다양한 입력 조건에서도 큰 오차 없이 안정적 작동), 오차에 둔감함

 

Pulse-echo with a virtual point source

고속 프레임 속도 초음파는 원형 또는 평면파의 방출과 함께 사용

물질을 통과하는 파동이 입자보다 작은 크기의 산란체(레일리 산란체; 매우 작은 크기의 초음파 파장보다 작은 물질 내 구조)에 의해 모든 방향으로 산란 (monopole source이자, secondary source => 구면파가 모든 방향으로 신호를 재방출)

Uniform Linear Array (ULA)에서 $x$축은 변환기와 평행하고, 중심이 0, 오른쪽으로 갈 수록 커지며 $z$축은 ULA에 수직으로 아래로 향함

$p$: pitch (elememt 간의 거리), $N_e$: element의 수

$x_i = \frac{p}{2}(2i-N_e-1)$

$z_i = 0$

(with $i = 1 ... N_e$)

 

매질에서 음속 ($c$)이 균일하다고 가정하면 $X_s = (x_s, z_s)$에 있는 산란체로의 파형의 왕복 시간은 

$\tau_i(X_s) = \frac{d_{TX}(X_s)+d_{RX}(X_s, x_i)}{c}-t_0$

($d_{TX}, d_{RX}$는 전송 및 수신 거리)

1) 전송 거리 $d_{TX}$는 구형파에서

➩ Heaviside Step function을 도입하여 $x_0$가 $L/2$보다 커지면 거리 보정

음원의 위치(virtual source)가 안에 있을 때 vs 밖에 있을 때를 나눠서 Heaviside Step Function을 언제 도입할 지?ㅂ 

➩ $\beta$가 0으로 가면 평면파 영상의 전송 거리 계산 가능

2) 수신 거리 $d_{RX}$는 산란체 ~ element #$i$까지 점 산란체에 의해 생성된 구면파가 이동한 거리

$d_{RX}(X_s, x_i) = \sqrt{(x_i-x_s)^2 + z_s^2}$

 

Hyperbolic Signatures and DAS

압전 소자가 반환하는 아날로그 신호 = RF 신호 ➩ 증폭되고 샘플링된 후, 빔포머에 의해 처리

$s_i(t) = s_i(x_i, t)$는 element #$i$가 기록한 디지털 신호 ➩ downmixing과 low-pass filtering을 통해 I/Q demodulation하여 고주파 신호를 저주파 신호로 바꿔 더 쉽게 분석 처리할수 있도록 함 ➩ 결론적으로 진폭, 위상 정보

 

real envelope 값인 $|IQ_i(t)| = \sqrt{I_i^2(t)+Q_i^2(t)}$를 구하고 log-compressing (dynamic range 축소)과 post-processing (speckle filtering) 

 

element가 수신한 신호 $s_i(t)$가 $xt$ 평면에 나란히 쌓이면, 수신된 신호를 특정 지점(산란체)과 관련지어 수학적 경로로 나타내면  hyperbolic signature으로 표시됨

기하학적으로 유사, eccentricity (이심률)은 $e=\sqrt{1+c^2} \cong c$로 계산되어 음파의 속도가 빠를수록 hyperbola 평평

 

위와 같이 표현되면 DAS는 $xz$ 평면에서 초음파 신호 집합으로부터 진폭 영상을 결정하는 단순화된 역문제

매질이 무작위로 분포된 점 산란체들로 구성되어 있고, 다중 산란을 무시한다고 가정하면, DAS는 각 반사체가 동시에 방출하는 것처럼 보이게 하는 진폭 영상을 생성

bf: beamformed

각 배열 요소에서 수신된 신호에 대해, 신호가 특정 산란체에서 온 것처럼 시간 지연을 적용 ➩ 지연된 신호를 합산하면 해당 산란체에서의 반사 신호가 증대되며, 다른 위치에서 온 신호는 상쇄된다.

 

신호가 샘플링으로 얻어지기 때문에  $s_i(\tau_i(X_s))$ 항은 잘 알려지지 않기에 가장 가까운 값으로 보간해야

Ex> q-점 보간법을 사용하여 가장 가까운 이웃 보간 (q=1), 선형 보간 (q=2) 등을 사용할 수 있고, 이 interpolating weights는 이후에 beamforming sparse matrix에 포함될 수 있음

Beamforming I/Q signals

위 식은 RF 신호에만 유효하지만, 많은 상황에서 elements들이 기록하는 신호 $s_i$는 beamforming 전에 디지털로 I/Q 복조된 신호임. 

I/Q 신호는 저주파 신호로 RF보다 처리하기 쉬우며 실수 및 허수 성분이 B-모드 또는 도플러 이미지를 생성하는 데 사용되는 진폭 및 위상 정보를 포함하며 직접 image grid에 beamforming될 수 있지만, 일반적으로 RF 신호는 그렇지 않음. ➩ RF 신호의 beamforming은 정확한 envelop detection을 보장하기 위해 정밀한 축 샘플링(그냥 depth 계산)이 필요. 

 

cf) Envelop Detection: 고주파 성분을 포함한 RF 신호를 수신하여 양수 신호로 변화(정류)시키고 low-pass filter을 통해 고주파 성분을 제거하여 진폭 변화( 조직 내에서 반사, 흡수, 산란되는 정도를 반영 )를 나타내는 원래 신호의 변조 정보를 포함하는 envelop 신호 완성! 이후에 log compression을 통해 최종 초음파 영상을 생성하는데 사용

 

I/Q 신호를 지연 및 합산할 때 상대 위상을 보존하기 위해, 복조 후 위상 회전자가 필요

➩ beamforming된 I/Q 신호가 얻어지면 log-compress된 moduli로 B-mode 이미지를 생성하거나, 프레임 간의 일시적 위상 변화를 분석하여 도플러 이미지 생성 가능

 

Receive f-number

Hyperbolic signiture을 따라 신호의 진폭은 uniform하지 않고 Hyperbola의 꼭짓점에서 최대가 된다. 신호의 진폭은 element의 diretivity에 의해 결정되며 요소들은 모든 방향에서 균일하게 수신하지 않기 때문에, 특정 방향에서 더 많이 수신된다. 요소의 너비(W)와 파장(λ)의 비율이 클수록, 요소의 지향성은 높아지고 주로 앞쪽에서 신호를 수신하고 반대로 이 비율이 작을수록 모든 방향에서 수신

Element가 수신하는 음압은 $D(\theta)$에 비례하며 $\theta = 0$에서 최대 진폭을 가지며 $\pm{\pi/2}$에 가까워질수록 진폭 감소한다. SNR도 hyperbola를 따라 $x$가 $x_s$에서 멀어질수록 감소하므로  hyperbola의 상단 부분만을 f-number를 사용하여 합산하는 것이 권장

Directivity Expression을 이용하여 view의 각도는 $D(\alpha) = D_thresh$를 만족해야 한다.

이미지 품질과 신호 대 잡음비를 기반으로 -3dB ($D_thresh$ = 0.71) 이하의 진폭은 버리는 것이 일반적

$W/\lambda = 1$ 일 때, $f_# = 1.2$를 나타냄

또, Directivity Expression은 파장 dependent이므로, smallest significant wavelength를 고려해야 하는데,

이번에는 f-number을 고려한 DAS 식을 보면,

에서

조건을 만족해야 함 ($2|x_s-x_i|$가 aperture의 너비 D와 같다 간주)

 

Speed of Sound

DAS 알고리즘에서 c 매개변수가 실제 음속과 일치하지 않으면, DAS 알고리즘은 잘못된 하이퍼볼라를 따라 신호 진폭을 합산하게 되어 output point spread function에 왜곡을 초래할 수 있다.

음속 추정 방법: hyperbola의 위상 분산을 최소화하는 음속을 추정하는 방법

Dimensionless phase-based quality metric

$\hat{c}$ 는 $\epsilon_\varphi(c)$의 최대화해 하이퍼볼라를 따라 위상을 균일하게 만듦

 

DAS as a Matrix Product

위 식에서 볼 수 있듯, DAS는 element들이 기록한 I/Q 신호를 빔포밍된 I/Q 데이터로 변환하는 선형 연산자

각 배열요소 $IQ_i$가 시간 시리즈 $n_s$ 샘플을 포함하고, 열 벡터 $IQ = [IQ_1, ... , IQ_{N_e}]^T$에 쌓여 있다고 가정하면 IQ의 크기는 $(n_sN_e \times {1})$

$IQ_{bf} = M_{DAS} \times {IQ}$ ($M$: beamforming point 수)

이때, $M_{DAS}$는 DAS 행렬로 interpolation weight, phase rotator, positive f-number로 인한 sum truncation(절단)을 포함하며, 크기는 $M \times {n_sN_e}$

Sparse Matrix ($M_{DAS}$)

$M_{DAS}$는 대부분 0값 element를 포함한 매우 sparse한 행렬, nnz는 non-zero elements의 수를 나타냄

$q$-point 보간이 $\tau_i(X_S)$에서 신호를 추정하는 데 사용되면 $nnz \le {Mn_sN_eq}$이며,

$sparsity(M_{DAS}) = 1-\frac{nnz}{Mn_sN_e}\ge{1-\frac{q}{n_s}}$

Example> 각 배열 요소가 1000개의 I/Q 샘플을 획득하고 신호가 선형으로 보간되면 ($q=2$), DAS 행렬의 sparsity는 99.8% 이상이라는 것. (=> 0의 비율이 상당이 높다 !)

(Sample code에서 DAS 행렬은 $ezdas$, interpolation은 $dasmtx$ 확인 !)

 

In vitro and In vivo Examples

1) minimum significant wavelength (최소 유의 파장) 계산

element에 의해 전송된 최소 유의 파장은 위 식에 의해 $\lambda_min \approx 0.23mm$ 이므로, $W/\lambda_min \lambda_min \approx 1.17$

$D_{thresh}=0.71$ (directional threshold: -3dB)로 f-number은 1.4

 

2) 최적 음속 계산

한 평면파를 방사하여 $\epsilon_p$를 최대화함으로써 최적의 음속 $\hat{c} = 1570m/s$를 얻음

 

3) 음속과 f-number 영향

음속과 f-number는 대조 신호 대 잡음비 (CNR)와 측면 해상도에 중요한 영향을 미치며 CNR과 측면해상도는 $c \approx 1550 ~ 1600$m/s와 $f_{#} \approx 1.1 ~ 1.6$이 모두 최적

 

 

 

f-number and speed of sound in DAS

위 figure에서 볼 수 있듯이, f-number와 음속은 DAS에 의해 반환되는 영상 품질에 영향을 미침

$f# = \frac{f}{D}=\frac{1}{2tan(\alpha)}$

벡터 도플러에서 각도 수신이 수행될 때 수정이 필요함 => 이 경우, 각도 $\theta$가 $\theta + |\theta_{RX}|$로 대체돼야

f-number의 역할: f-number는 신호를 합산할 때 사용하는 배열 요소의 수와 위치를 결정

높은 f-number: 더 적은 수의 배열 요소(좁은 aperture)를 사용하여 신호를 합산 => hyperbola의 중심부에 더 집중하겠삼

낮은 f-number: 더 많은 수의 배열 요소(넓은 aperture)를 사용하여 신호를 합산 => hyperbola의 더 넓은 영역을 포함하겠삼

음속이 달라지면 신호가 매질을 통해 전파되는 시간도 달라지므로, hyperbola의 형태를 결정하게 됨

특정 음속 값은 hyperbola가 반사체의 실제 위치와 가장 잘 맞도록 만듦